Задача №09280

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC\parallel AD$ и $BC=AD\text{.}$ Точка $M$ — середина стороны $BC\text{,}$ поэтому $BM=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}\text{.}$

Рассмотрим треугольники $BKM$ и $DKA\text{.}$ Прямые $BC$ и $AD$ параллельны, поэтому накрест лежащие углы равны: $\angle MBK=\angle ADK$ и $\angle BMK=\angle DAK\text{.}$ Значит, треугольники $BKM$ и $DKA$ подобны по двум углам.

Коэффициент подобия равен отношению соответственных сторон:

$$\frac{BK}{KD}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}.$$

Следовательно, $BK:KD=1:2\text{,}$ то есть $BK=\frac{1}{3}BD\text{.}$

Подставим $BD=12\text{:}$

$$BK=\frac{1}{3}\cdot 12=4.$$

Ответ: 4