Задача №09277

Пусть угол $\angle CAB$ — внутренний угол прямоугольного треугольника $ABC$ при вершине $A\text{.}$

1. Внешний угол при вершине $A$ и внутренний угол $\angle CAB$ являются смежными, поэтому их сумма равна $180^{\circ }\text{.}$ Найдем величину угла $\angle CAB\text{:}$

$$\angle CAB=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$$

2. Из прямоугольного треугольника $ABC$ (с прямым углом $C$) по определению косинуса острого угла:

$$\cos (\angle CAB)=\frac{AC}{AB}.$$

3. Подставим известные значения $\cos (60^{\circ })=\frac{1}{2}$ и $AC=15\text{:}$

$$\frac{1}{2}=\frac{15}{AB}\Rightarrow AB=15\cdot 2=30.$$

Ответ: $30\text{.}$