Задача №09275

Медиана $BM$ одновременно является биссектрисой угла $B\text{.}$ Если в треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают, то треугольник равнобедренный: $AB=BC\text{.}$

Тогда медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC$ равнобедренного треугольника, является также высотой, то есть $BM\perp AC$ и угол $AMB=90^{\circ }\text{.}$

Биссектриса делит угол $B$ пополам, поэтому:

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ Катет $BM=23$ прилежит к углу $ABM=60^{\circ }\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos \angle ABM=\frac{BM}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{23}{0,5}=46.$$

Ответ: 46.