Задача №09274

Поскольку $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ является серединой стороны $AC\text{.}$ Следовательно:

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{96}{2}=48.$$

В треугольнике $BMC$ стороны $BC$ и $BM$ равны, значит, этот треугольник является равнобедренным с основанием $MC\text{.}$

Так как $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ проведённая к прямой $AC\text{,}$ она также является высотой равнобедренного треугольника $BMC\text{,}$ проведённой к его основанию. В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой. Таким образом, точка $H$ — середина отрезка $MC\text{:}$

$$MH=HC=\frac{MC}{2}=\frac{48}{2}=24.$$

Длина отрезка $AH$ равна сумме длин отрезков $AM$ и $MH\text{:}$

$$AH=AM+MH=48+24=72.$$