Задача №09268

В параллелограмме $ABCD$ диагонали перпендикулярны. Сумма углов $A$ и $C$ равна $120^{\circ }\text{,}$ $AB=45\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

1. Известно, что если в параллелограмме диагонали перпендикулярны, то такой параллелограмм является ромбом. Следовательно, $ABCD$ — ромб.

2. У ромба все стороны равны, поэтому $AB=BC=CD=AD=45\text{.}$

3. В параллелограмме (и в ромбе) противоположные углы равны, то есть $\angle A=\angle C\text{.}$ По условию их сумма равна $120^{\circ }\text{:}$

4. Рассмотрим треугольник $ABD\text{.}$ В нём стороны $AB$ и $AD$ равны как стороны ромба ($AB=AD=45$), значит, треугольник $ABD$ — равнобедренный.

5. Так как в равнобедренном треугольнике $ABD$ угол при вершине $\angle A=60^{\circ }\text{,}$ то этот треугольник является равносторонним. Следовательно, все его стороны равны:

Ответ: 45.