В треугольнике ABC внешние углы при вершинах A и C равны 150^, AB = 58. Найдите длину биссектрисы BK.

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают 180^. Поэтому внутренние углы при вершинах A и C равны: A = C = 180^ - 150^ = 30^. Поскольку A = C, треугольник ABC равнобедренный с AB = BC. Тогда B = 180^ - 30^ - 30^ = 120^, а биссектриса BK, проведённая из вершины B, является одновременно высотой и медианой, то есть BK AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABK с прямым углом при K. В нём гипотенуза AB = 58, а острый угол A = 30^. Тогда катет BK, лежащий против угла A: BK = AB * sin 30^ = 58 * (1)/(2) = 29. Ответ: 29.

29