Задача №09264

В треугольнике $ABC$ внешние углы при вершинах $A$ и $C$ равны $150^{\circ }\text{,}$ $AB=58\text{.}$ Найдите длину биссектрисы $BK\text{.}$

Внешний угол треугольника и смежный с ним внутренний угол в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Поэтому внутренние углы при вершинах $A$ и $C$ равны:

Поскольку $\angle A=\angle C\text{,}$ треугольник $ABC$ равнобедренный с $AB=BC\text{.}$ Тогда $\angle B=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }\text{,}$ а биссектриса $BK\text{,}$ проведённая из вершины $B\text{,}$ является одновременно высотой и медианой, то есть $BK\perp AC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABK$ с прямым углом при $K\text{.}$ В нём гипотенуза $AB=58\text{,}$ а острый угол $\angle A=30^{\circ }\text{.}$ Тогда катет $BK\text{,}$ лежащий против угла $A\text{:}$

Ответ: 29.