Задача №09260

На стороне $BC$ прямоугольника $ABCD\text{,}$ у которого $AB=32$ и $AD=92\text{,}$ отмечена точка $E$ так, что $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Найдите $ED\text{.}$

1. В прямоугольнике $ABCD$ противоположные стороны равны:

Все углы прямоугольника равны $90^{\circ }\text{.}$

2. Рассмотрим треугольник $ABE\text{.}$ Он является прямоугольным ($\angle B=90^{\circ }$). По условию $\angle EAB=45^{\circ }\text{.}$ Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна $90^{\circ }\text{,}$ значит:

Следовательно, треугольник $ABE$ — равнобедренный, и его катеты равны:

3. Точка $E$ лежит на стороне $BC\text{.}$ Найдем длину отрезка $EC\text{:}$

4. Рассмотрим треугольник $ECD\text{.}$ Он является прямоугольным ($\angle C=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

Ответ: 68