Задача №09253

Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, значит $\angle ABM=\angle MBC=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }\text{.}$

Если в треугольнике медиана совпадает с биссектрисой, то этот треугольник равнобедренный: $AB=BC\text{.}$ Тогда медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию $AC\text{,}$ является также и высотой, то есть $BM\perp AC$ и $\angle BMA=90^{\circ }\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при вершине $M\text{.}$ В нём $\angle ABM=60^{\circ }\text{,}$ а $BM$ — катет, прилежащий к этому углу, $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos \angle ABM=\frac{BM}{AB}.$$

Отсюда:

$$AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{5}{0,5}=10.$$

Ответ: 10.