Задача №09249

Медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, значит она одновременно является и медианой, и биссектрисой треугольника $ABC\text{.}$ Если медиана совпадает с биссектрисой, то треугольник равнобедренный с $AB=BC\text{,}$ а отрезок $BM$ совпадает также с высотой.

Поэтому $BM\perp AC\text{,}$ то есть $\angle BMA=90^{\circ }\text{.}$

Угол $B$ равен $120^{\circ }\text{,}$ и биссектриса делит его пополам:

$$\angle ABM=\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM$ с прямым углом при $M\text{.}$ В нём $BM$ — катет, прилежащий к углу $ABM=60^{\circ }\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos (\angle ABM)=\frac{BM}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BM}{\cos 60^{\circ }}=\frac{13}{0,5}=26.$$

Ответ: 26