Задача №09248

В равнобедренном треугольнике $ABC$ с основанием $AC$ боковые стороны равны: $AB=BC\text{.}$ Внешний угол при основании равен $150^{\circ }\text{,}$ значит смежный с ним внутренний угол при основании равен:

$$180^{\circ }-150^{\circ }=30^{\circ }.$$

Значит $\angle A=\angle C=30^{\circ }\text{.}$

Медиана $BM\text{,}$ проведённая к основанию равнобедренного треугольника, является одновременно его высотой, поэтому $BM\perp AC$ и треугольник $BMC$ — прямоугольный с прямым углом при $M\text{.}$

В прямоугольном треугольнике $BMC$ катет $BM$ лежит напротив угла $C=30^{\circ }\text{,}$ а гипотенузой является боковая сторона $BC\text{.}$ Тогда:

$$\sin C=\frac{BM}{BC}\Rightarrow \sin 30^{\circ }=\frac{55}{BC}.$$

Поскольку $\sin 30^{\circ }=\frac{1}{2}\text{,}$ получаем:

$$\frac{1}{2}=\frac{55}{BC}\Rightarrow BC=55\cdot 2=110.$$

Ответ: 110