Задача №09245

У ромба противоположные углы равны, а соседние — в сумме дают $180^{\circ }\text{.}$ Поэтому два соседних угла не могут давать в сумме $120^{\circ }\text{.}$ Значит, речь о двух равных (противоположных) углах. Каждый из них равен:

$$\frac{120^{\circ }}{2}=60^{\circ }.$$

Это острые углы ромба (вторая пара углов — по $120^{\circ }$).

Меньшая диагональ ромба лежит против меньшего (острого) угла. Обозначим сторону ромба $a\text{.}$ Диагональ, стягивающая острый угол, отсекает треугольник со сторонами $a\text{,}$ $a$ и углом $60^{\circ }$ между ними. По теореме косинусов длина этой диагонали $d\text{:}$

$$d^2=a^2+a^2-2a^2\cos 60^{\circ }=2a^2-2a^2\cdot \frac{1}{2}=a^2.$$

Значит, $d=a\text{:}$ треугольник равносторонний, и меньшая диагональ равна стороне ромба.

Тогда:

$$a=30.$$

Периметр ромба:

$$P=4a=4\cdot 30=120.$$

Ответ: 120.