Задача №09240

В параллелограмме $ABCD$ диагонали являются биссектрисами его углов, $AB=41\text{,}$ $AC=18\text{.}$ Найдите $BD\text{.}$

Пусть $ABCD$ — данный параллелограмм. По условию диагонали $AC$ и $BD$ являются биссектрисами его углов. В параллелограмме, если диагональ является биссектрисой угла, то этот параллелограмм — ромб. Поскольку обе диагонали — биссектрисы, то $ABCD$ — ромб. Следовательно, все его стороны равны:

В ромбе диагонали перпендикулярны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть $O$ — точка пересечения диагоналей. Тогда:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AOB$ ($\angle AOB=90^{\circ }$). По теореме Пифагора:

Подставим известные значения:

Так как $BO>0\text{,}$ находим диагональ $BD\text{:}$

Ответ: 80