В треугольнике ABC угол C равен 90^, AB = 2sqrt(5), sin A = (1)/(sqrt(5)). Найдите площадь треугольника.

Задача №09231: Планиметрия

В треугольнике $A B C$ угол $C$ равен $9 0^{\circ},$ $A B = 25,$ $sin A = \frac{1}{5} .$ Найдите площадь треугольника.

В треугольнике $A B C$ угол $C = 9 0^{\circ},$ поэтому $A B$ — гипотенуза.

Дано: $A B = 25,$ $sin A = \frac{1}{5} .$

Синус угла в прямоугольном треугольнике:
$sin A = \frac{B C}{A B} .$

Следовательно:

\frac{B C}{2 5} = \frac{1}{5} \Rightarrow B C = 25 \cdot \frac{1}{5} = 2

По теореме Пифагора:

A B^{2} = A C^{2} + B C^{2}

(25)^{2} = A C^{2} + 2^{2}

20 = A C^{2} + 4 \Rightarrow A C^{2} = 16 \Rightarrow A C = 4

Площадь треугольника:

S = \frac{1}{2} \cdot A C \cdot B C = \frac{1}{2} \cdot 4 \cdot 2 = 4

Ответ: 4.