Задача №09229

Так как $BM$ — медиана треугольника $ABC\text{,}$ точка $M$ — середина стороны $AC\text{,}$ поэтому

$$AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{17}{2}=8,5.$$

Рассмотрим треугольник $BMC\text{.}$ По условию $BM=BC\text{,}$ значит этот треугольник равнобедренный с основанием $MC\text{.}$

Отрезок $BH$ — высота треугольника $ABC\text{,}$ то есть $BH\perp AC\text{.}$ Значит $BH$ является высотой и в треугольнике $BMC\text{,}$ проведённой к основанию $MC\text{.}$ В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является и медианой, поэтому точка $H$ — середина отрезка $MC\text{:}$

$$MH=\frac{MC}{2}=\frac{8,5}{2}=4,25.$$

Тогда

$$AH=AM+MH=8,5+4,25=12,75.$$

Ответ: 12,75.