Задача №09226

В окружности с центром $O$ отрезки $AC$ и $BD$ — диаметры. Вписанный угол $ACB$ равен $80^{\circ }\text{.}$ Найдите угол $AOD\text{.}$ Ответ дайте в градусах.

Так как $AC$ и $BD$ — диаметры, они пересекаются в центре $O\text{,}$ и точки $A,O,C$ лежат на одной прямой, как и точки $B,O,D\text{.}$

Рассмотрим треугольник $BOC\text{.}$ Отрезки $OB$ и $OC$ — радиусы окружности, поэтому $OB=OC\text{,}$ и треугольник $BOC$ равнобедренный. Значит, углы при его основании $BC$ равны:

Угол $OCB$ совпадает с углом $ACB$ (так как точка $O$ лежит на отрезке $AC$), то есть $\angle OCB=80^{\circ }\text{.}$ Тогда $\angle OBC=80^{\circ }\text{.}$

Сумма углов треугольника $BOC$ равна $180^{\circ }\text{:}$

Углы $AOD$ и $BOC$ — вертикальные (образованы пересечением прямых $AC$ и $BD$ в точке $O$), поэтому они равны:

Ответ: 20