Задача №09223 — Планиметрия (Математика (база) ЕГЭ)

В равнобедренном треугольнике ABC медиана BK = 14, боковая сторона BC = 50. Найдите длину отрезка MN, если известно, что он соединяет середины боковых сторон.

В равнобедренном треугольнике ABC с боковыми сторонами AB = BC = 50 медиана BK, проведённая к основанию AC, является также высотой. Следовательно, треугольник BKC — прямоугольный с прямым углом при вершине K. По теореме Пифагора: BC^2 = BK^2 + KC^2. Подставим известные значения: 50^2 = 14^2 + KC^2. 2500 = 196 + KC^2. KC^2 = 2304. KC = 48. Так как K — середина AC, то основание AC = 2 * KC = 2 * 48 = 96. Отрезок MN соединяет середины боковых сторон, то есть является средней линией треугольника ABC, параллельной основанию AC. По свойству средней линии треугольника: MN = (AC)/(2) = KC = 48. Ответ: 48.

48