К кубу с ребром, равным 1, приклеили правильную четырёхугольную пирамиду со стороной основания, равной 1, так, что квадратные грани совпали. Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые рёбра на рисунке не изображены)?

Для того чтобы найти количество рёбер получившегося многогранника, выполним подсчёт двумя способами. Способ 1 (прямой подсчёт): При склеивании куба и правильной четырёхугольной пирамиды по их квадратным граням: 1. У куба изначально было 12 рёбер: - 4 рёбра нижнего основания; - 4 боковых (вертикальных) рёбра; - 4 рёбра верхнего основания. 2. У пирамиды изначально было 8 рёбер: - 4 рёбра основания; - 4 боковых рёбра. При склеивании 4 рёбра основания пирамиды полностью совмещаются с 4 рёбрами верхней грани куба. Эти рёбра остаются рёбрами получившегося многогранника, так как боковые грани пирамиды наклонены под острым углом к плоскости склеивания, а боковые грани куба перпендикулярны ей (то есть они не сливаются в одну плоскость). Таким образом, общее количество рёбер нового многогранника складывается из: - 4 рёбер нижнего основания куба; - 4 боковых рёбер куба; - 4 рёбер на стыке (где совместились грани); - 4 боковых рёбер пирамиды. E = 4 + 4 + 4 + 4 = 16 Способ 2 (через формулу Эйлера): Для любого многогранника, гомеоморфного сфере, справедлива теорема Эйлера: V - E + F = 2 где V — число вершин, E — число рёбер, F — число граней. 1. Найдём число вершин V : - Куб имеет 8 вершин. - Пирамида имеет 5 вершин. - При склеивании 4 вершины основания пирамиды совпадают с 4 вершинами верхней грани куба. - Итого вершин: V = 8 + 5 - 4 = 9 . 2. Найдём число граней F : - У куба наружу обращены 5 граней (все, кроме верхней). - У пирамиды наружу обращены 4 грани (все боковые). - Итого граней: F = 5 + 4 = 9 . 3. Подставим значения в формулу Эйлера: 9 - E + 9 = 2 => E = 16 Ответ: 16.

16