Задача №09221

Для того чтобы найти количество рёбер получившегося многогранника, выполним подсчёт двумя способами.

Способ 1 (прямой подсчёт):

При склеивании куба и правильной четырёхугольной пирамиды по их квадратным граням:
1. У куба изначально было 12 рёбер:

• 4 рёбра нижнего основания;
• 4 боковых (вертикальных) рёбра;
• 4 рёбра верхнего основания.
  2. У пирамиды изначально было 8 рёбер:
• 4 рёбра основания;
• 4 боковых рёбра.

При склеивании 4 рёбра основания пирамиды полностью совмещаются с 4 рёбрами верхней грани куба. Эти рёбра остаются рёбрами получившегося многогранника, так как боковые грани пирамиды наклонены под острым углом к плоскости склеивания, а боковые грани куба перпендикулярны ей (то есть они не сливаются в одну плоскость).

Таким образом, общее количество рёбер нового многогранника складывается из:

• 4 рёбер нижнего основания куба;
• 4 боковых рёбер куба;
• 4 рёбер на стыке (где совместились грани);
• 4 боковых рёбер пирамиды.

$$E=4+4+4+4=16$$

Способ 2 (через формулу Эйлера):

Для любого многогранника, гомеоморфного сфере, справедлива теорема Эйлера:

$$V-E+F=2$$

где $V$ — число вершин, $E$ — число рёбер, $F$ — число граней.

1. Найдём число вершин $V\text{:}$

• Куб имеет 8 вершин.
• Пирамида имеет 5 вершин.
• При склеивании 4 вершины основания пирамиды совпадают с 4 вершинами верхней грани куба.
• Итого вершин: $V=8+5-4=9\text{.}$

2. Найдём число граней $F\text{:}$

• У куба наружу обращены 5 граней (все, кроме верхней).
• У пирамиды наружу обращены 4 грани (все боковые).
• Итого граней: $F=5+4=9\text{.}$

3. Подставим значения в формулу Эйлера:

$$9-E+9=2\Rightarrow E=16$$

Ответ: 16.