Задача №09216

Объём треугольной пирамиды $ABCD\text{,}$ у которой рёбра $AB\text{,}$ $AC$ и $AD$ взаимно перпендикулярны, можно найти, приняв одну из граней за основание, а перпендикулярное ей ребро — за высоту.

Пусть основанием пирамиды является прямоугольный треугольник $ABC$ с катетами $AB=5$ и $AC=24\text{.}$ Площадь этого треугольника равна:

$$S_{ABC}=\frac{1}{2}\cdot AB\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot 5\cdot 24=60.$$

Так как ребро $AD$ перпендикулярно рёбрам $AB$ и $AC\text{,}$ оно перпендикулярно плоскости основания $ABC$ и является высотой пирамиды $h=AD=3\text{.}$

Объём пирамиды вычисляется по формуле:

$$V=\frac{1}{3}\cdot S_{ABC}\cdot AD=\frac{1}{3}\cdot 60\cdot 3=60.$$

Ответ: 60