В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 рёбра DA , DC и диагональ DA_1 боковой грани равны соответственно 3 , 5 и sqrt(34) . Найдите объём параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 .

Прямоугольный параллелепипед ABCDA_1B_1C_1D_1 имеет три измерения: ширину AD , длину CD и высоту AA_1 . Из условия задачи известны: - DA = 3 ; - DC = 5 ; - диагональ боковой грани DA_1 = sqrt(34) . Рассмотрим боковую грань ADD_1A_1 . Поскольку параллелепипед прямоугольный, эта грань является прямоугольником, а ребро AA_1 перпендикулярно плоскости основания ABCD , следовательно, AA_1 AD . Тогда треугольник DAA_1 — прямоугольный с прямым углом при вершине A . По теореме Пифагора: DA_1^2 = DA^2 + AA_1^2. Подставим известные значения: (sqrt(34))^2 = 3^2 + AA_1^2, 34 = 9 + AA_1^2, AA_1^2 = 34 - 9 = 25, AA_1 = 5. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений (длины, ширины и высоты): V = DA * DC * AA_1. V = 3 * 5 * 5 = 75. Ответ: 75.

75