Задача №09212

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рёбра $DA\text{,}$ $DC$ и диагональ $D{A}_1$ боковой грани равны соответственно $3\text{,}$ $5$ и $\sqrt{34}\text{.}$ Найдите объём параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$

Прямоугольный параллелепипед $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ имеет три измерения: ширину $AD\text{,}$ длину $CD$ и высоту $A{A}_1\text{.}$

Из условия задачи известны:

• $DA=3\text{;}$
• $DC=5\text{;}$
• диагональ боковой грани $D{A}_1=\sqrt{34}\text{.}$

Рассмотрим боковую грань $AD{D}_1{A}_1\text{.}$ Поскольку параллелепипед прямоугольный, эта грань является прямоугольником, а ребро $A{A}_1$ перпендикулярно плоскости основания $ABCD\text{,}$ следовательно, $A{A}_1\perp AD\text{.}$

Тогда треугольник $DA{A}_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $A\text{.}$ По теореме Пифагора:

Подставим известные значения:

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений (длины, ширины и высоты):

Ответ: 75.