Задача №09199

Плоскость, проходящая через точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает тетраэдр на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

Обозначим вершины тетраэдра как $S$ (вершина), $D$ (левая вершина основания), $E$ (передняя вершина основания) и $F$ (правая вершина основания).

Из рисунка видно, что точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ лежат на рёбрах тетраэдра:

• Точка $A$ лежит на ребре $DE\text{;}$
• Точка $B$ лежит на ребре $SF\text{;}$
• Точка $C$ лежит на ребре $EF\text{.}$

Построим сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{:}$
1. Поскольку точки $A$ и $C$ лежат в плоскости основания $DEF\text{,}$ проведём прямую $AC\text{.}$ Она пересекает продолжение ребра $DF$ в некоторой точке $P\text{.}$
2. Точка $P$ лежит на прямой $DF\text{,}$ то есть принадлежит плоскости грани $SDF\text{.}$ Точка $B$ также лежит в плоскости грани $SDF\text{.}$ Проведём прямую $PB\text{.}$ Она пересекает ребро $SD$ в некоторой точке $Q\text{.}$
3. Соединим точку $Q$ с точкой $A\text{,}$ так как они обе лежат в плоскости грани $SDE\text{.}$
4. Четырёхугольник $ACBQ$ — искомое сечение тетраэдра.

Плоскость сечения разбивает тетраэдр на два многогранника:

1. Первый многогранник (содержащий вершины тетраэдра $E$ и $S$):

• Вершины: $E\text{,}$ $S\text{,}$ $A\text{,}$ $C\text{,}$ $B\text{,}$ $Q$ (всего 6 вершин);
• Рёбра: 4 ребра сечения ($AC\text{,}$ $CB\text{,}$ $BQ\text{,}$ $QA$) и 5 оставшихся отрезков рёбер тетраэдра ($AE\text{,}$ $EC\text{,}$ $ES\text{,}$ $SQ\text{,}$ $SB$). Всего $4+5=9$ рёбер.

2. Второй многогранник (содержащий вершины тетраэдра $D$ and $F$):

• Вершины: $D\text{,}$ $F\text{,}$ $A\text{,}$ $C\text{,}$ $B\text{,}$ $Q$ (всего 6 вершин);
• Рёбра: 4 ребра сечения ($AC\text{,}$ $CB\text{,}$ $BQ\text{,}$ $QA$) и 5 оставшихся отрезков рёбер тетраэдра ($AD\text{,}$ $CF\text{,}$ $DF\text{,}$ $QD\text{,}$ $FB$). Всего $4+5=9$ рёбер.

Оба получившихся многогранника имеют по 6 вершин. Таким образом, количество рёбер у многогранника с наибольшим числом вершин равно 9.

Ответ: 9