От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Для нахождения числа рёбер получившегося многогранника выполним поэтапный расчёт: 1. Исходный многогранник: Исходная фигура — правильная пятиугольная призма. - Число вершин: V_0 = 10 (по 5 в каждом из двух оснований); - Число рёбер: E_0 = 15 (5 в нижнем основании, 5 в верхнем основании и 5 боковых рёбер); - Число граней: F_0 = 7 (2 пятиугольных основания и 5 боковых граней-прямоугольников). 2. Процесс отпиливания вершин: - При отпиливании каждой из 10 вершин на её месте образуется новая треугольная грань. - Каждая такая новая грань имеет 3 ребра. Поскольку отпилы делаются независимо друг от друга вокруг каждой вершины, эти новые треугольные грани не имеют общих рёбер между собой. Таким образом, появляется 10 * 3 = 30 новых рёбер. - Все 15 исходных рёбер призмы при этом укорачиваются, но сохраняются как отдельные рёбра нового многогранника. 3. Общее число рёбер: E = 15 + 30 = 45. 4. Проверка по формуле Эйлера V - E + F = 2 : - Число вершин нового многогранника: вместо каждой из 10 вершин исходной призмы теперь по 3 вершины нового треугольного сечения, то есть V = 10 * 3 = 30 . - Число граней нового многогранника: 2 изменённых основания (стали десятиугольниками), 5 боковых граней (стали восьмиугольниками) и 10 новых треугольных граней на месте отпиленных вершин. Всего F = 2 + 5 + 10 = 17 . - Подставим в формулу Эйлера: 30 - 45 + 17 = 2. Равенство верно. Ответ: 45.

45