От деревянной правильной пятиугольной призмы отпилили все её вершины (см. рис.). Сколько рёбер у получившегося многогранника (невидимые ребра на рисунке не изображены)?

Задача №09190: Прикладная стереометрия

Для нахождения числа рёбер получившегося многогранника выполним поэтапный расчёт:

1. Исходный многогранник:
Исходная фигура — правильная пятиугольная призма.

Число вершин: $V_{0} = 10$ (по 5 в каждом из двух оснований);
Число рёбер: $E_{0} = 15$ (5 в нижнем основании, 5 в верхнем основании и 5 боковых рёбер);
Число граней: $F_{0} = 7$ (2 пятиугольных основания и 5 боковых граней-прямоугольников).

2. Процесс отпиливания вершин:

При отпиливании каждой из 10 вершин на её месте образуется новая треугольная грань.
Каждая такая новая грань имеет 3 ребра. Поскольку отпилы делаются независимо друг от друга вокруг каждой вершины, эти новые треугольные грани не имеют общих рёбер между собой. Таким образом, появляется $10 \times 3 = 30$ новых рёбер.
Все 15 исходных рёбер призмы при этом укорачиваются, но сохраняются как отдельные рёбра нового многогранника.

3. Общее число рёбер:

E = 15 + 30 = 45.

4. Проверка по формуле Эйлера $V - E + F = 2 :$

Число вершин нового многогранника: вместо каждой из 10 вершин исходной призмы теперь по 3 вершины нового треугольного сечения, то есть $V = 10 \times 3 = 30 .$
Число граней нового многогранника: 2 изменённых основания (стали десятиугольниками), 5 боковых граней (стали восьмиугольниками) и 10 новых треугольных граней на месте отпиленных вершин. Всего $F = 2 + 5 + 10 = 17 .$
Подставим в формулу Эйлера:

30 - 45 + 17 = 2.

Равенство верно.

Ответ: 45.