Задача №09180

Объём прямоугольного параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ равен произведению трёх его измерений:

$$V=CD\cdot CB\cdot D{D}_1.$$

Грань $CD{D}_1{C}_1$ является прямоугольником, поэтому треугольник $CD{D}_1$ — прямоугольный с прямым углом при вершине $D\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$C{D}_1^2=C{D}^2+D{D}_1^2.$$

Отсюда находим высоту $D{D}_1\text{:}$

$$D{D}_1=\sqrt{C{D}_1^2-C{D}^2}=\sqrt{(4\sqrt{2}{)}^2-4^2}=\sqrt{32-16}=\sqrt{16}=4.$$

Вычисляем объём параллелепипеда:

$$V=4\cdot 7\cdot 4=112.$$

Ответ: 112