В прямоугольном параллелепипеде ABCDA_1B_1C_1D_1 рёбра CD, CB и диагональ CD_1 боковой грани равны соответственно 4, 7 и 4sqrt(2). Найдите объём параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1.

Объём прямоугольного параллелепипеда ABCDA_1B_1C_1D_1 равен произведению трёх его измерений: V = CD * CB * DD_1. Грань CDD_1C_1 является прямоугольником, поэтому треугольник CDD_1 — прямоугольный с прямым углом при вершине D. По теореме Пифагора: CD_1^2 = CD^2 + DD_1^2. Отсюда находим высоту DD_1: DD_1 = sqrt(CD_1^2 - CD^2) = sqrt((42)^2 - 4^2) = sqrt(32 - 16) = sqrt(16) = 4. Вычисляем объём параллелепипеда: V = 4 * 7 * 4 = 112. Ответ: 112

112