В треугольнике ABC угол B равен 120°. Медиана BM делит угол B пополам и равна 27. Найдите длину стороны AB.

Медиана BM проведена к стороне AC, значит M — середина AC и AM = MC. По условию медиана BM делит угол B пополам, то есть является биссектрисой. В треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают только в равнобедренном треугольнике. Следовательно, AB = BC, а отрезок BM одновременно является и высотой, поэтому BM AC. Рассмотрим прямоугольный треугольник ABM: угол BMA = 90°, а угол ABM равен половине угла B: ABM = (120°)/(2) = 60°. Катет BM прилежит к углу ABM, а AB — гипотенуза. Тогда: cos( ABM) = (BM)/(AB) => AB = (BM)/(cos 60°). Подставим BM = 27 и cos 60° = 0,5: AB = (27)/(0,5) = 54. Ответ: 54.

54