Задача №09175

Медиана $BM$ проведена к стороне $AC\text{,}$ значит $M$ — середина $AC$ и $AM=MC\text{.}$

По условию медиана $BM$ делит угол $B$ пополам, то есть является биссектрисой. В треугольнике медиана и биссектриса, проведённые из одной вершины, совпадают только в равнобедренном треугольнике. Следовательно, $AB=BC\text{,}$ а отрезок $BM$ одновременно является и высотой, поэтому $BM\perp AC\text{.}$

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABM\text{:}$ угол $BMA=90°\text{,}$ а угол $ABM$ равен половине угла $B\text{:}$

$$\angle ABM=\frac{120°}{2}=60°.$$

Катет $BM$ прилежит к углу $ABM\text{,}$ а $AB$ — гипотенуза. Тогда:

$$\cos (\angle ABM)=\frac{BM}{AB}\Rightarrow AB=\frac{BM}{\cos 60°}.$$

Подставим $BM=27$ и $\cos 60°=0,5\text{:}$

$$AB=\frac{27}{0,5}=54.$$

Ответ: 54.