Задача №09155

Длина биссектрисы $l_c\text{,}$ проведённой к стороне $c$ треугольника со сторонами $a\text{,}$ $b$ и $c\text{,}$ вычисляется по формуле $l_c=\frac{1}{a+b}\sqrt{ab((a+b{)}^2-c^2)}\text{.}$ Найдите биссектрису $l_c\text{,}$ если $a=6\text{,}$ $b=9$ и $c=5\sqrt{3}\text{.}$

Для нахождения длины биссектрисы $l_c$ подставим заданные значения $a=6\text{,}$ $b=9$ и $c=5\sqrt{3}$ в формулу:

Проведём вычисления по шагам:

1. Найдём сумму сторон в знаменателе и скобках: $a+b=6+9=15\text{.}$
2. Найдём произведение сторон: $ab=6\cdot 9=54\text{.}$
3. Вычислим квадрат стороны $c\text{:}$ $c^2=(5\sqrt{3}{)}^2=25\cdot 3=75\text{.}$
4. Вычислим выражение в скобках: $(a+b{)}^2-c^2=15^2-75=225-75=150\text{.}$
5. Найдём значение всего выражения под знаком корня: $ab((a+b{)}^2-c^2)=54\cdot 150=8100\text{.}$
6. Извлечём квадратный корень: $\sqrt{8100}=90\text{.}$
7. Вычислим итоговое значение биссектрисы: $l_c=\frac{1}{15}\cdot 90=\frac{90}{15}=6\text{.}$

Ответ: 6