Задача №09151

Так как $ABCD$ — параллелограмм, то $BC\parallel AD$ и $BC=AD\text{.}$

Прямые $BC$ и $AD$ параллельны, а прямые $BD$ и $AM$ являются секущими. Рассмотрим треугольники $BKM$ и $DKA\text{:}$ углы $MBK$ и $ADK$ равны как накрест лежащие при секущей $BD\text{,}$ углы $BMK$ и $DAK$ равны как накрест лежащие при секущей $AM\text{.}$ Значит, треугольники $BKM$ и $DKA$ подобны по двум углам.

Точка $M$ — середина стороны $BC\text{,}$ поэтому

$$BM=\frac{BC}{2}=\frac{AD}{2}.$$

Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон:

$$\frac{BK}{KD}=\frac{BM}{AD}=\frac{1}{2}.$$

Значит, отрезок $BD$ делится точкой $K$ в отношении $BK:KD=1:2\text{,}$ то есть

$$BK=\frac{1}{3}\cdot BD=\frac{1}{3}\cdot 18=6.$$

Ответ: 6.