В параллелограмме ABCD отмечена точка M — середина стороны BC. Отрезки BD и AM пересекаются в точке K. Найдите длину отрезка BK, если BD = 18.

Так как ABCD — параллелограмм, то BC AD и BC = AD. Прямые BC и AD параллельны, а прямые BD и AM являются секущими. Рассмотрим треугольники BKM и DKA: углы MBK и ADK равны как накрест лежащие при секущей BD, углы BMK и DAK равны как накрест лежащие при секущей AM. Значит, треугольники BKM и DKA подобны по двум углам. Точка M — середина стороны BC, поэтому BM = (BC)/(2) = (AD)/(2). Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон: (BK)/(KD) = (BM)/(AD) = (1)/(2). Значит, отрезок BD делится точкой K в отношении BK : KD = 1 : 2, то есть BK = (1)/(3) * BD = (1)/(3) * 18 = 6. Ответ: 6.

6