Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с меньшим числом граней?

Пусть исходная правильная треугольная призма имеет вершины D, E, F на верхнем основании и D_1, E_1, F_1 на нижнем основании, так что: - EE_1 — переднее боковое ребро; - DD_1 — левое боковое ребро; - FF_1 — правое боковое ребро. Точки A, B, C расположены на рёбрах: - A на ребре DE; - B на ребре EF; - C на ребре E_1F_1. Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через эти точки: 1. Точки A и B лежат в плоскости верхнего основания, поэтому отрезок AB является линией пересечения плоскости сечения с верхним основанием. 2. Так как плоскости оснований призмы параллельны, плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой, параллельной AB. Проведём через точку C прямую, параллельную AB. Она пересечёт ребро D_1E_1 в некоторой точке X. Отрезок XC параллелен AB. 3. Соединим точки A и X, лежащие в левой боковой грани, а также точки B и C, лежащие в правой боковой грани. Полученное сечение AXCB разбивает призму на два многогранника: 1. Первый многогранник (содержит вершины E и E_1) с вершинами A, B, E, X, C, E_1. Этот многогранник имеет 5 граней: - два треугольника в основаниях (ABE и XCE_1); - три четырёхугольника (боковые грани AXE_1E, BCE_1E и само сечение AXCB). 2. Второй многогранник (содержит оставшиеся вершины призмы) с вершинами A, B, D, F, X, C, D_1, F_1. Этот многогранник имеет 6 граней: - два четырёхугольника в основаниях (ABFD и XCD_1F_1); - три боковые грани (ADD_1X, BFF_1C, DFF_1D_1); - само сечение AXCB. Многогранник с меньшим числом граней — это первый многогранник (у него 5 граней). Количество его вершин равно 6 (это точки A, B, E, X, C, E_1). Ответ: 6

6