Задача №09150

Пусть исходная правильная треугольная призма имеет вершины $D\text{,}$ $E\text{,}$ $F$ на верхнем основании и $D_1\text{,}$ $E_1\text{,}$ $F_1$ на нижнем основании, так что:

• $E{E}_1$ — переднее боковое ребро;
• $D{D}_1$ — левое боковое ребро;
• $F{F}_1$ — правое боковое ребро.

Точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ расположены на рёбрах:

• $A$ на ребре $DE\text{;}$
• $B$ на ребре $EF\text{;}$
• $C$ на ребре $E_1{F}_1\text{.}$

Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через эти точки:

1. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости верхнего основания, поэтому отрезок $AB$ является линией пересечения плоскости сечения с верхним основанием.
2. Так как плоскости оснований призмы параллельны, плоскость сечения пересекает нижнее основание по прямой, параллельной $AB\text{.}$ Проведём через точку $C$ прямую, параллельную $AB\text{.}$ Она пересечёт ребро $D_1{E}_1$ в некоторой точке $X\text{.}$ Отрезок $XC$ параллелен $AB\text{.}$
3. Соединим точки $A$ и $X\text{,}$ лежащие в левой боковой грани, а также точки $B$ и $C\text{,}$ лежащие в правой боковой грани.

Полученное сечение $AXCB$ разбивает призму на два многогранника:

1. Первый многогранник (содержит вершины $E$ и $E_1$) с вершинами $A\text{,}$ $B\text{,}$ $E\text{,}$ $X\text{,}$ $C\text{,}$ $E_1\text{.}$ Этот многогранник имеет 5 граней:

• два треугольника в основаниях ($ABE$ и $XC{E}_1$);
• три четырёхугольника (боковые грани $AX{E}_{1}E\text{,}$ $BC{E}_{1}E$ и само сечение $AXCB$).
  2. Второй многогранник (содержит оставшиеся вершины призмы) с вершинами $A\text{,}$ $B\text{,}$ $D\text{,}$ $F\text{,}$ $X\text{,}$ $C\text{,}$ $D_1\text{,}$ $F_1\text{.}$ Этот многогранник имеет 6 граней:
• два четырёхугольника в основаниях ($ABFD$ и $XC{D}_1{F}_1$);
• три боковые грани ($AD{D}_{1}X\text{,}$ $BF{F}_{1}C\text{,}$ $DF{F}_1{D}_1$);
• само сечение $AXCB\text{.}$

Многогранник с меньшим числом граней — это первый многогранник (у него 5 граней). Количество его вершин равно 6 (это точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $E\text{,}$ $X\text{,}$ $C\text{,}$ $E_1$).

Ответ: 6