Задача №09144

В прямоугольном параллелепипеде $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1$ рёбра $CD\text{,}$ $CB$ и диагональ $C{D}_1$ боковой грани равны соответственно 3, 4 и 5. Найдите объём параллелепипеда $ABCD{A}_1{B}_1{C}_1{D}_1\text{.}$

В прямоугольном параллелепипеде грань $CD{D}_1{C}_1$ — прямоугольник, у которого $CD=3$ — ребро основания, а $D{D}_1$ — боковое ребро (высота параллелепипеда). Диагональ этой грани $C{D}_1=5\text{.}$

Диагональ $C{D}_1$ лежит в плоскости грани $CD{D}_1{C}_1$ и является гипотенузой прямоугольного треугольника $CD{D}_1$ с прямым углом при вершине $D\text{.}$ По теореме Пифагора:

Тогда:

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений $CD\text{,}$ $CB$ и $D{D}_1\text{:}$

Ответ: 48.