Задача №09139

Для нахождения площади поверхности детали сопоставим её с полным прямоугольным параллелепипедом, описывающим этот многогранник.

Размеры описывающего параллелепипеда:

• ширина $a=3$ см;
• глубина $b=4$ см;
• высота $c=6$ см.

Площадь поверхности полного параллелепипеда:

$$S_{\text{пар}}=2(ab+bc+ac)=2(3\cdot 4+4\cdot 6+3\cdot 6)=2(12+24+18)=108{\text{ см}}^2.$$

У данной детали вырезан сквозной паз высотой $3$ см и глубиной $4$ см. Из рисунка видно, что ширина оставшейся вертикальной колонны равна $1$ см, следовательно, ширина выреза составляет:

$$3-1=2\text{ см}.$$

Оценим, как изменяется площадь поверхности при исключении этого паза:
1. На передней и задней гранях удаляются два прямоугольника площадью $2\cdot 3=6{\text{ см}}^2$ каждый. Суммарная потеря площади: $2\cdot 6=12{\text{ см}}^2\text{.}$
2. На левой грани удаляется прямоугольник площадью $4\cdot 3=12{\text{ см}}^2\text{,}$ но внутри паза появляется аналогичная внутренняя вертикальная грань такой же площади $12{\text{ см}}^2\text{.}$ Таким образом, площадь боковых граней не меняется.
3. Внутри паза добавляются две новые горизонтальные грани (верхняя и нижняя стороны выреза) площадью $2\cdot 4=8{\text{ см}}^2$ каждая. Суммарная прибавка площади: $2\cdot 8=16{\text{ см}}^2\text{.}$

Итоговое изменение площади поверхности составляет:

$$\Delta S=-12+16=4{\text{ см}}^2.$$

Площадь поверхности детали:

$$S=S_{\text{пар}}+\Delta S=108+4=112{\text{ см}}^2.$$

Ответ: 112.