Задача №09129

Плоскость, проходящая через точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

Построим сечение призмы плоскостью, проходящей через точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{:}$

1. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости верхнего основания призмы, поэтому отрезок $AB$ является линией пересечения секущей плоскости с верхним основанием.
2. Плоскости верхнего и нижнего оснований призмы параллельны. Следовательно, плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведём в плоскости нижнего основания через точку $C$ прямую, параллельную $AB\text{.}$ Эта прямая пересечёт ребро нижнего основания в точке $D$ так, что $CD\parallel AB\text{.}$
3. Соединим точку $A$ с $D$ и $B$ с $C\text{.}$ Полученное сечение — трапеция $ABCD\text{.}$

Секущая плоскость делит призму на два многогранника:

• Первый многогранник (расположенный спереди) имеет 6 вершин (четыре вершины сечения и две вершины у переднего ребра призмы).
• Второй многогранник (расположенный сзади) имеет 8 вершин (четыре вершины сечения $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $D$ и четыре вершины задней грани призмы).

Многогранником с большим числом вершин является второй многогранник (8 вершин).

Посчитаем количество его рёбер:

• 4 ребра на верхнем основании: два отрезка исходных рёбер основания и отрезок $AB\text{.}$
• 4 ребра на нижнем основании: два отрезка исходных рёбер основания и отрезок $CD\text{.}$
• 4 боковых ребра: два исходных вертикальных боковых ребра призмы и боковые стороны сечения $AD$ и $BC\text{.}$

Таким образом, у этого многогранника всего $4+4+4=12$ рёбер.

Ответ: 12