Задача №09127

Рассмотрим прямоугольник $ABCD\text{.}$ Возьмём прямоугольный треугольник $ACD\text{:}$ угол при вершине $D$ прямой, так как это угол прямоугольника.

В прямоугольнике противоположные стороны равны, поэтому $AD=BC=75\text{.}$

Угол $\angle CAD$ — острый угол треугольника $ACD$ при вершине $A\text{.}$ Для него сторона $CD$ является противолежащим катетом, а сторона $AD$ — прилежащим катетом. Тогда:

$$\mathrm{tg}\angle CAD=\frac{CD}{AD}.$$

Подставим известные значения:

$$\frac{3}{25}=\frac{CD}{75}.$$

Отсюда:

$$CD=75\cdot \frac{3}{25}=9.$$

Стороны прямоугольника равны $AD=75$ и $CD=9\text{.}$ Площадь прямоугольника:

$$S=AD\cdot CD=75\cdot 9=675.$$

Ответ: 675.