Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рис.), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько рёбер у получившегося многогранника с большим числом вершин?

У правильной треугольной призмы 6 вершин, 9 рёбер и 5 граней (две треугольные и три боковые прямоугольные). Точки A и B лежат на двух рёбрах верхнего основания, выходящих из одной его вершины (назовём её P ), а точка C лежит на ребре нижнего основания. Секущая плоскость, проходящая через A , B и C , отсекает от призмы ту часть, которая прилегает к боковому ребру PQ (где Q — вершина нижнего основания под P ). Плоскость пересекает ровно четыре ребра призмы: два ребра верхнего основания (в точках A и B ) и два ребра нижнего основания. Сечением является четырёхугольник. Призма делится на два многогранника. Меньший многогранник содержит вершины P и Q и четыре точки сечения — всего 6 вершин. Больший многогранник содержит остальные четыре вершины призмы (по две на каждом основании) и те же четыре точки сечения — всего 8 вершин. Именно он имеет большее число вершин. Подсчитаем рёбра большего многогранника. Его грани: 1. четырёхугольник на месте верхнего основания (треугольник без срезанного угла); 2. четырёхугольник на месте нижнего основания; 3. два боковых четырёхугольника (бывшие прямоугольные грани, частично срезанные плоскостью); 4. целая боковая прямоугольная грань, которой плоскость не коснулась; 5. четырёхугольник сечения. Итого V = 8 вершин и F = 6 граней. По формуле Эйлера V - E + F = 2 : E = V + F - 2 = 8 + 6 - 2 = 12. Таким образом, у большего многогранника 12 рёбер. Ответ: 12.

12