Задача №09119

У правильной треугольной призмы 6 вершин, 9 рёбер и 5 граней (две треугольные и три боковые прямоугольные).

Точки $A$ и $B$ лежат на двух рёбрах верхнего основания, выходящих из одной его вершины (назовём её $P$), а точка $C$ лежит на ребре нижнего основания. Секущая плоскость, проходящая через $A\text{,}$ $B$ и $C\text{,}$ отсекает от призмы ту часть, которая прилегает к боковому ребру $PQ$ (где $Q$ — вершина нижнего основания под $P$).

Плоскость пересекает ровно четыре ребра призмы: два ребра верхнего основания (в точках $A$ и $B$) и два ребра нижнего основания. Сечением является четырёхугольник.

Призма делится на два многогранника.

Меньший многогранник содержит вершины $P$ и $Q$ и четыре точки сечения — всего 6 вершин.

Больший многогранник содержит остальные четыре вершины призмы (по две на каждом основании) и те же четыре точки сечения — всего 8 вершин. Именно он имеет большее число вершин.

Подсчитаем рёбра большего многогранника. Его грани:

1. четырёхугольник на месте верхнего основания (треугольник без срезанного угла);
2. четырёхугольник на месте нижнего основания;
3. два боковых четырёхугольника (бывшие прямоугольные грани, частично срезанные плоскостью);
4. целая боковая прямоугольная грань, которой плоскость не коснулась;
5. четырёхугольник сечения.

Итого $V=8$ вершин и $F=6$ граней. По формуле Эйлера $V-E+F=2\text{:}$

$$E=V+F-2=8+6-2=12.$$

Таким образом, у большего многогранника 12 рёбер.

Ответ: 12.