Задача №09108

Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

$$V=AB\cdot AD\cdot A{A}_1.$$

Нам известны длины двух рёбер: $AB=5$ и $AD=4\text{.}$ Высота параллелепипеда $A{A}_1$ равна ребру $B{B}_1\text{.}$

Рассмотрим боковую грань $AB{B}_1{A}_1\text{.}$ Поскольку параллелепипед прямоугольный, эта грань является прямоугольником, а треугольник $AB{B}_1$ — прямоугольным с прямым углом $B\text{.}$ По теореме Пифагора:

$$A{B}^2+B{B}_1^2=A{B}_1^2.$$

Подставим известные значения:

$$5^2+B{B}_1^2=(\sqrt{34}{)}^2$$ $$25+B{B}_1^2=34$$ $$B{B}_1^2=9\Rightarrow B{B}_1=3.$$

Таким образом, высота параллелепипеда $A{A}_1=B{B}_1=3\text{.}$

Найдём объём параллелепипеда:

$$V=5\cdot 4\cdot 3=60.$$

Ответ: 60.