Задача №09085

Плоскость, проходящая через точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с меньшим числом рёбер?

Построим сечение правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{.}$

1. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости верхнего основания призмы, поэтому отрезок $AB$ является линией пересечения секущей плоскости с верхним основанием.
2. Точки $B$ и $C$ лежат на рёбрах, принадлежащих одной и той же боковой грани (правой боковой грани призмы). Поэтому отрезок $BC$ является линией пересечения секущей плоскости с этой боковой гранью.
3. Проведём в плоскости передней левой боковой грани линию сечения из точки $A$ к ребру нижнего основания. Поскольку плоскости верхнего и нижнего оснований призмы параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с нижним основанием должна быть параллельна прямой $AB\text{.}$
4. Проведём через точку $C$ в плоскости нижнего основания прямую, параллельную $AB\text{.}$ Пусть она пересекает левое нижнее ребро в некоторой точке $D\text{.}$ Отрезок $CD$ параллелен $AB\text{.}$
5. Соединим точки $A$ и $D\text{.}$ Полученный четырёхугольник $ABCD$ (трапеция) является сечением призмы.

Секущая плоскость делит призму на два многогранника:

• один из них (верхний) лежит по одну сторону от плоскости сечения и содержит верхнюю часть призмы. Это усечённая пирамида (или многогранник сложной формы);
• другой многогранник (нижний) отсекается плоскостью сечения.

Определим количество рёбер и граней у каждого из получившихся многогранников, чтобы найти многогранник с меньшим числом рёбер.

Нижний многогранник (под сечением $ABCD$) имеет своими вершинами вершины нижнего основания призмы и точки сечения. Его гранями являются:

• основание (часть нижнего основания призмы — четырёхугольник или треугольник, в зависимости от положения точек);
• боковые грани (части боковых граней призмы);
• само сечение $ABCD\text{.}$

В типичной конфигурации данной задачи точки $A$ и $B$ берутся на рёбрах верхнего основания, а точка $C$ — на боковом ребре или ребре нижнего основания.

Если плоскость отсекает одну из вершин призмы (например, вершину при верхнем основании), то меньшим из получившихся многогранников является треугольная пирамида (тетраэдр), у которой:

• количество рёбер равно 6;
• количество граней равно 4.

Если же плоскость проходит так, как показано на рисунке (точки $A$ и $B$ лежат на рёбрах верхнего основания, а $C$ — на ребре нижнего основания), то плоскость отсекает четырёхугольную пирамиду с вершиной в общей точке боковых рёбер (или усечённую призму).

Посчитаем точные характеристики получившихся многогранников:

• меньший многогранник — это четырёхугольная пирамида с основанием на боковой грани призмы или усечённая призма. У неё 5 граней (одно четырёхугольное основание и 4 треугольные или четырёхугольные боковые грани) и 8 рёбер;
• второй многогранник имеет значительно больше граней и рёбер.

Таким образом, получившийся многогранник с меньшим числом рёбер имеет 5 граней.

Ответ: 5