Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рисунок), разбивает правильную треугольную призму на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с меньшим числом рёбер?

Построим сечение правильной треугольной призмы плоскостью, проходящей через точки A, B и C. 1. Точки A и B лежат в плоскости верхнего основания призмы, поэтому отрезок AB является линией пересечения секущей плоскости с верхним основанием. 2. Точки B и C лежат на рёбрах, принадлежащих одной и той же боковой грани (правой боковой грани призмы). Поэтому отрезок BC является линией пересечения секущей плоскости с этой боковой гранью. 3. Проведём в плоскости передней левой боковой грани линию сечения из точки A к ребру нижнего основания. Поскольку плоскости верхнего и нижнего оснований призмы параллельны, секущая плоскость пересекает их по параллельным прямым. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с нижним основанием должна быть параллельна прямой AB. 4. Проведём через точку C в плоскости нижнего основания прямую, параллельную AB. Пусть она пересекает левое нижнее ребро в некоторой точке D. Отрезок CD параллелен AB. 5. Соединим точки A и D. Полученный четырёхугольник ABCD (трапеция) является сечением призмы. Секущая плоскость делит призму на два многогранника: * один из них (верхний) лежит по одну сторону от плоскости сечения и содержит верхнюю часть призмы. Это усечённая пирамида (или многогранник сложной формы); * другой многогранник (нижний) отсекается плоскостью сечения. Определим количество рёбер и граней у каждого из получившихся многогранников, чтобы найти многогранник с меньшим числом рёбер. Нижний многогранник (под сечением ABCD) имеет своими вершинами вершины нижнего основания призмы и точки сечения. Его гранями являются: * основание (часть нижнего основания призмы — четырёхугольник или треугольник, в зависимости от положения точек); * боковые грани (части боковых граней призмы); * само сечение ABCD. В типичной конфигурации данной задачи точки A и B берутся на рёбрах верхнего основания, а точка C — на боковом ребре или ребре нижнего основания. Если плоскость отсекает одну из вершин призмы (например, вершину при верхнем основании), то меньшим из получившихся многогранников является треугольная пирамида (тетраэдр), у которой: * количество рёбер равно 6; * количество граней равно 4. Если же плоскость проходит так, как показано на рисунке (точки A и B лежат на рёбрах верхнего основания, а C — на ребре нижнего основания), то плоскость отсекает четырёхугольную пирамиду с вершиной в общей точке боковых рёбер (или усечённую призму). Посчитаем точные характеристики получившихся многогранников: * меньший многогранник — это четырёхугольная пирамида с основанием на боковой грани призмы или усечённая призма. У неё 5 граней (одно четырёхугольное основание и 4 треугольные или четырёхугольные боковые грани) и 8 рёбер; * второй многогранник имеет значительно больше граней и рёбер. Таким образом, получившийся многогранник с меньшим числом рёбер имеет 5 граней. Ответ: 5

5