Задача №09059

Плоскость, проходящая через точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ (см. рис.), разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим числом рёбер?

Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{:}$

1. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости верхней грани куба, поэтому соединим их отрезком $AB\text{.}$

2. Точки $B$ и $C$ лежат в плоскости правой боковой грани куба, поэтому соединим их отрезком $BC\text{.}$

3. Так как верхняя и нижняя грани куба параллельны, плоскость сечения пересекает их по параллельным прямым. Проведём в плоскости нижней грани через точку $C$ прямую, параллельную $AB\text{.}$ Она пересечёт переднее нижнее ребро куба в точке $D\text{.}$

4. Точки $A$ и $D$ лежат в передней грани куба, соединим их отрезком $AD\text{.}$

Полученное сечение представляет собой четырёхугольник $ABCD$ (трапецию). Это сечение делит куб на два многогранника.

Рассмотрим полученные многогранники:

1. Меньший многогранник (отсекаемый угол у правого переднего ребра куба):

• Его гранями являются: треугольник на верхней грани куба, треугольник на нижней грани, два четырёхугольника на передней и правой боковых гранях и само сечение $ABCD\text{.}$
• Всего у него 5 граней, 6 вершин и 9 рёбер.

2. Больший многогранник:

• Его гранями являются: две целые грани куба (левая и задняя), четыре изменённые грани куба (верхняя, нижняя, передняя и правая) и само сечение $ABCD\text{.}$
• Всего у него 7 граней, 10 вершин и 15 рёбер.

По условию задачи требуется найти число граней у многогранника с большим числом рёбер. Многогранник с большим числом рёбер (15 рёбер) имеет 7 граней.

Ответ: 7