Задача №09049

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Найдём площадь поверхности детали двумя способами.

Способ 1: Прямое вычисление площадей всех граней

1. Передняя и задняя грани (C-образные):
Каждая из этих граней представляет собой прямоугольник со сторонами $4\text{ см}$ и $6\text{ см}\text{,}$ из которого вырезан прямоугольник со сторонами $2\text{ см}$ (длина выреза) и $3\text{ см}$ (высота выреза).

Суммарная площадь передней и задней граней:

2. Остальные грани (прямоугольники шириной $3\text{ см}$):

• Верхняя грань: $4\cdot 3=12{\text{ см}}^2$
• Нижняя грань: $4\cdot 3=12{\text{ см}}^2$
• Правая вертикальная грань: $6\cdot 3=18{\text{ см}}^2$
• Левые внешние вертикальные грани (верхняя и нижняя): их суммарная высота равна $6-3=3\text{ см}\text{,}$ а ширина равна $3\text{ см}\text{.}$ Их общая площадь составляет $3\cdot 3=9{\text{ см}}^2\text{.}$
• Внутренние горизонтальные грани выреза (верхняя и нижняя): каждая имеет длину $2\text{ см}$ и ширину $3\text{ см}\text{.}$ Их общая площадь равна $2\cdot (2\cdot 3)=12{\text{ см}}^2\text{.}$
• Внутренняя вертикальная грань выреза: имеет высоту $3\text{ см}$ и ширину $3\text{ см}\text{.}$ Её площадь равна $3\cdot 3=9{\text{ см}}^2\text{.}$

3. Общая площадь поверхности:

Способ 2: Метод достраивания

Представим полный прямоугольный параллелепипед с размерами $3\times 4\times 6\text{ см}\text{.}$ Площадь его поверхности равна:

При вырезании паза размером $3\times 2\times 3\text{ см}\text{:}$

• Площадь боковых (передней и задней) граней уменьшилась на площадь двух прямоугольников $2\times 3$ (всего на $12{\text{ см}}^2$).
• Мы потеряли часть левой грани площадью $3\times 3=9{\text{ см}}^2\text{.}$
• Взамен мы приобрели три новые внутренние грани паза: одну вертикальную площадью $3\times 3=9{\text{ см}}^2$ и две горизонтальные общей площадью $2\cdot (2\times 3)=12{\text{ см}}^2\text{.}$

Таким образом, уменьшение внешней площади поверхности компенсировалось появлением внутренних граней выреза, и общая площадь поверхности детали осталась равной площади поверхности исходного параллелепипеда.

Ответ: 108