Задача №09044

Плоскость, проходящая через точки $A\text{,}$ $B$ и $C$ (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим числом рёбер?

Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{.}$

1. Точки $A$ и $B$ лежат в плоскости верхней грани куба, поэтому плоскость сечения пересекает верхнюю грань по отрезку $AB\text{.}$
2. Точки $A$ и $C$ лежат в плоскости передней грани куба, поэтому плоскость сечения пересекает переднюю грань по отрезку $AC\text{.}$
3. Так как верхняя и нижняя грани куба параллельны, плоскость сечения должна пересекать их по параллельным прямым. Проведём в плоскости нижней грани через точку $C$ прямую, параллельную $AB\text{.}$ Эта прямая пересечёт нижнее правое ребро куба в некоторой точке $K\text{.}$ Отрезок $CK$ — линия пересечения плоскости сечения с нижней гранью.
4. Точки $K$ и $B$ лежат в плоскости правой грани куба, соединим их отрезком $KB\text{.}$

Таким образом, сечением куба является четырёхугольник (трапеция) $ACKB\text{.}$ Эта плоскость разбивает куб на два многогранника.

Рассмотрим полученные многогранники.

Первый многогранник (меньший, отсекаемый правый передний угол куба):

• Вершины: вершины куба $V$ (верхняя передняя правая) и $U$ (нижняя передняя правая), а также точки на рёбрах $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $K\text{.}$
• Грани:
  1. Треугольник $AVB$ (на верхней грани);
  2. Треугольник $CUK$ (на нижней грани);
  3. Четырёхугольник $AVUC$ (на передней грани);
  4. Четырёхугольник $VUKB$ (на правой грани);
  5. Четырёхугольник $ACKB$ (плоскость сечения).
     Всего граней: 5.
• Рёбра: $AB\text{,}$ $BK\text{,}$ $KC\text{,}$ $CA\text{,}$ $AV\text{,}$ $VB\text{,}$ $CU\text{,}$ $UK\text{,}$ $VU\text{.}$
  Всего рёбер: 9.

Второй многогранник (большая часть куба):

• Его гранями являются:
  • усечённые версии исходных граней куба (верхняя, нижняя, передняя, правая) — 4 грани;
  • нетронутые исходные грани куба (левая и задняя) — 2 грани;
  • сама плоскость сечения — 1 грань.
    Всего граней: $4+2+1=7\text{.}$
• Найдём число рёбер этого многогранника. Куб изначально имеет 12 рёбер:
  • 1 ребро куба ($VU$) целиком принадлежит первому многограннику;
  • 7 рёбер куба целиком принадлежат второму многограннику;
  • 4 ребра куба делятся точками $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C\text{,}$ $K$ на две части (одна часть в первом многограннике, вторая — во втором);
  • плоскость сечения добавляет 4 новых ребра ($AB\text{,}$ $BK\text{,}$ $KC\text{,}$ $CA$).
    Всего рёбер: $7+4+4=15\text{.}$

Сравним число рёбер у двух многогранников: у первого — 9, у второго — 15. Многогранник с большим числом рёбер — второй, он имеет 7 граней.

Ответ: 7