Задача №09044 — Прикладная стереометрия (Математика (база) ЕГЭ)

Плоскость, проходящая через точки A , B и C (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько граней у получившегося многогранника с большим числом рёбер?

Построим сечение куба плоскостью, проходящей через точки A , B и C . Точки A и B лежат в плоскости верхней грани куба, поэтому плоскость сечения пересекает верхнюю грань по отрезку AB . Точки A и C лежат в плоскости передней грани куба, поэтому плоскость сечения пересекает переднюю грань по отрезку AC . Так как верхняя и нижняя грани куба параллельны, плоскость сечения должна пересекать их по параллельным прямым. Проведём в плоскости нижней грани через точку C прямую, параллельную AB . Эта прямая пересечёт нижнее правое ребро куба в некоторой точке K . Отрезок CK — линия пересечения плоскости сечения с нижней гранью. Точки K и B лежат в плоскости правой грани куба, соединим их отрезком KB . Таким образом, сечением куба является четырёхугольник (трапеция) ACKB . Эта плоскость разбивает куб на два многогранника. Рассмотрим полученные многогранники. Первый многогранник (меньший, отсекаемый правый передний угол куба): Вершины: вершины куба V (верхняя передняя правая) и U (нижняя передняя правая), а также точки на рёбрах A , B , C , K . Грани: 1. Треугольник AVB (на верхней грани); 2. Треугольник CUK (на нижней грани); 3. Четырёхугольник AVUC (на передней грани); 4. Четырёхугольник VUKB (на правой грани); 5. Четырёхугольник ACKB (плоскость сечения). Всего граней: 5. Рёбра: AB , BK , KC , CA , AV , VB , CU , UK , VU . Всего рёбер: 9. Второй многогранник (большая часть куба): Его гранями являются: * усечённые версии исходных граней куба (верхняя, нижняя, передняя, правая) — 4 грани; * нетронутые исходные грани куба (левая и задняя) — 2 грани; * сама плоскость сечения — 1 грань. Всего граней: 4 + 2 + 1 = 7 . Найдём число рёбер этого многогранника. Куб изначально имеет 12 рёбер: * 1 ребро куба ( VU ) целиком принадлежит первому многограннику; * 7 рёбер куба целиком принадлежат второму многограннику; * 4 ребра куба делятся точками A , B , C , K на две части (одна часть в первом многограннике, вторая — во втором); * плоскость сечения добавляет 4 новых ребра ( AB , BK , KC , CA ). Всего рёбер: 7 + 4 + 4 = 15 . Сравним число рёбер у двух многогранников: у первого — 9, у второго — 15. Многогранник с большим числом рёбер — второй, он имеет 7 граней. Ответ: 7

7