Задача №09004

Грань $BC{C}_1{B}_1$ — боковая грань параллелепипеда. В ней $BC$ и $C{C}_1$ — рёбра, а $B{C}_1$ — диагональ грани. Так как параллелепипед прямоугольный, угол $BC{C}_1$ прямой, поэтому по теореме Пифагора:

$$B{C}_1^2=B{C}^2+C{C}_1^2.$$

Подставим известные значения $BC=3$ и $B{C}_1=3\sqrt{5}\text{:}$

$$(3\sqrt{5}{)}^2=3^2+C{C}_1^2\Rightarrow 45=9+C{C}_1^2\Rightarrow C{C}_1^2=36.$$

Тогда $C{C}_1=6\text{.}$

Три измерения параллелепипеда: $BC=3\text{,}$ $BA=7$ и высота $C{C}_1=6\text{.}$ Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений:

$$V=BC\cdot BA\cdot C{C}_1=3\cdot 7\cdot 6=126.$$

Ответ: 126.