Задача №08948

Деталь имеет форму изображённого на рисунке многогранника (все двугранные углы прямые). Числа на рисунке обозначают длины рёбер в сантиметрах. Найдите площадь поверхности этой детали. Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Для нахождения площади поверхности детали воспользуемся свойством площадей поверхностей пространственных фигур.

Способ 1 (через изменение площади исходного параллелепипеда)

Представим деталь в виде прямоугольного параллелепипеда с измерениями $5\times 5\times 1\text{,}$ из которого вырезали прямоугольный паз шириной 1, глубиной 1 и высотой 1.

1. Найдем площадь поверхности исходного параллелепипеда без выреза:

2. Оценим изменения площади поверхности при вырезании паза:

• Сверху и снизу: площадь уменьшилась на два квадрата со стороной 1:

• Спереди и сзади: передняя грань уменьшилась на квадрат $1\times 1\text{,}$ но внутри выреза появилась параллельная ей задняя стенка паза такой же площади ($1\times 1$). Общая площадь в этом направлении не изменилась.

• Слева и справа внутри паза: появились две новые боковые грани, каждая из которых имеет размеры $1\times 1\text{.}$ Они увеличивают площадь поверхности на:

3. Таким образом, полная площадь поверхности детали равна:

Способ 2 (непосредственное сложение площадей всех граней)

Просуммируем площади всех внешних и внутренних граней детали:

• Задняя грань: прямоугольник размером $5\times 1\text{,}$ площадь равна $5\cdot 1=5\text{.}$
• Левая и правая внешние грани: два прямоугольника размером $5\times 1\text{,}$ их суммарная площадь равна $2\cdot (5\cdot 1)=10\text{.}$
• Передняя грань: состоит из двух прямоугольников общей шириной $5-1=4$ и высотой 1. Суммарная площадь равна $4\cdot 1=4\text{.}$
• Внутренние грани паза: две боковые стенки размером $1\times 1$ (площадь каждой равна 1) и одна задняя стенка размером $1\times 1$ (площадь равна 1). Суммарная площадь внутренних граней паза равна $1+1+1=3\text{.}$
• Верхняя и нижняя грани: каждая представляет собой квадрат $5\times 5$ без вырезанного квадрата $1\times 1\text{.}$ Площадь каждой равна $5\cdot 5-1\cdot 1=24\text{,}$ их общая площадь равна $2\cdot 24=48\text{.}$

Сложим площади всех перечисленных граней:

Ответ: 70.