Задача №08931

Проведём сечение куба плоскостью, проходящей через точки $A\text{,}$ $B$ и $C\text{:}$

1. Точки $A$ и $B$ лежат на рёбрах верхней грани куба, поэтому отрезок $AB$ является линией пересечения плоскости сечения с верхней гранью.
2. Поскольку верхняя и нижняя грани куба параллельны, плоскость сечения должна пересекать нижнюю грань по прямой, параллельной $AB\text{.}$ Проведём через точку $C$ в плоскости нижней грани прямую, параллельную $AB\text{.}$ Она пересечёт переднее нижнее ребро куба в некоторой точке $R\text{.}$ Отрезок $CR$ — линия пересечения с нижней гранью.
3. Точки $A$ и $R$ лежат на рёбрах передней грани куба. Соединив их, получим отрезок $AR$ — линию пересечения с передней гранью.
4. Продлим отрезок $AB$ на верхней грани до пересечения с продолжением верхнего правого ребра в точке $P\text{.}$ Точки $P$ и $C$ лежат в плоскости правой грани куба. Отрезок $PC$ пересекает вертикальное заднее правое ребро куба в точке $Q\text{.}$ Отрезок $QC$ — линия пересечения с правой гранью.
5. Соединим точки $B$ и $Q$ в плоскости задней грани куба. Отрезок $BQ$ — линия пересечения с задней гранью.

Таким образом, сечением куба является пятиугольник $ABQCR\text{.}$

Этот сечение делит куб на два многогранника:

• Первый многогранник (меньший, содержащий правый верхний передний угол):

  • Его вершины — это вершины исходного куба, оставшиеся по одну сторону от плоскости сечения, а также сами точки сечения. К вершинам куба в этой части относятся 3 точки (передняя правая верхняя, задняя правая верхняя, передняя правая нижняя).
  • Добавив 5 точек сечения ($A\text{,}$ $B\text{,}$ $Q\text{,}$ $C\text{,}$ $R$), получаем всего $3+5=8$ вершин.
  • У него 6 граней: пятиугольник сечения и части 5 граней куба (верхней, передней, нижней, правой, задней).

• Второй многогранник (больший, содержащий всю левую грань):

  • К его вершинам относятся 5 вершин исходного куба (все 4 вершины левой грани и 1 задняя нижняя правая вершина), а также 5 точек сечения.
  • Всего у этого многогранника $5+5=10$ вершин.
  • У него 7 граней: пятиугольник сечения, полностью вся левая грань куба и изменённые части 5 остальных граней (вехней, передней, нижней, правой, задней).

Многогранник с большим числом граней имеет 7 граней и 10 вершин.

Ответ: 10