Плоскость, проходящая через точки A, B и C (см. рисунок), разбивает куб на два многогранника. Сколько вершин у получившегося многогранника с большим числом граней?

Проведём сечение куба плоскостью, проходящей через точки A, B и C: 1. Точки A и B лежат на рёбрах верхней грани куба, поэтому отрезок AB является линией пересечения плоскости сечения с верхней гранью. 2. Поскольку верхняя и нижняя грани куба параллельны, плоскость сечения должна пересекать нижнюю грань по прямой, параллельной AB. Проведём через точку C в плоскости нижней грани прямую, параллельную AB. Она пересечёт переднее нижнее ребро куба в некоторой точке R. Отрезок CR — линия пересечения с нижней гранью. 3. Точки A и R лежат на рёбрах передней грани куба. Соединив их, получим отрезок AR — линию пересечения с передней гранью. 4. Продлим отрезок AB на верхней грани до пересечения с продолжением верхнего правого ребра в точке P. Точки P и C лежат в плоскости правой грани куба. Отрезок PC пересекает вертикальное заднее правое ребро куба в точке Q. Отрезок QC — линия пересечения с правой гранью. 5. Соединим точки B и Q в плоскости задней грани куба. Отрезок BQ — линия пересечения с задней гранью. Таким образом, сечением куба является пятиугольник ABQCR. Этот сечение делит куб на два многогранника: * **Первый многогранник** (меньший, содержащий правый верхний передний угол): * Его вершины — это вершины исходного куба, оставшиеся по одну сторону от плоскости сечения, а также сами точки сечения. К вершинам куба в этой части относятся 3 точки (передняя правая верхняя, задняя правая верхняя, передняя правая нижняя). * Добавив 5 точек сечения (A, B, Q, C, R), получаем всего 3 + 5 = 8 вершин. * У него 6 граней: пятиугольник сечения и части 5 граней куба (верхней, передней, нижней, правой, задней). * **Второй многогранник** (больший, содержащий всю левую грань): * К его вершинам относятся 5 вершин исходного куба (все 4 вершины левой грани и 1 задняя нижняя правая вершина), а также 5 точек сечения. * Всего у этого многогранника 5 + 5 = 10 вершин. * У него 7 граней: пятиугольник сечения, полностью вся левая грань куба и изменённые части 5 остальных граней (вехней, передней, нижней, правой, задней). Многогранник с большим числом граней имеет 7 граней и 10 вершин. Ответ: 10

10