Задача №08699

Найдем площадь участка на плане. Каждая клетка имеет размеры $1\times 1$ м, то есть площадь одной клетки равна $1{\text{ м}}^2\text{.}$

Способ 1 (через диагонали)

Изображённая фигура является ромбом (четырёхугольником с взаимно перпендикулярными диагоналями). Найдём длины его диагоналей, считая клетки:

• Горизонтальная диагональ $d_1$ равна $6$ м (от $1$-й до $7$-й вертикальной линии сетки);
• Вертикальная диагональ $d_2$ равна $8$ м (от $1$-й до $9$-й горизонтальной линии сетки).

Площадь четырёхугольника с взаимно перпендикулярными диагоналями вычисляется по формуле:

$$S=\frac{1}{2}{d}_1{d}_2.$$

Подставим значения:

$$S=\frac{1}{2}\cdot 6\cdot 8=24{\text{ м}}^2.$$

---

Способ 2 (метод дополнения)

1. Опишем вокруг данной фигуры прямоугольник. Его стороны будут проходить по линиям сетки через вершины четырёхугольника. Размеры этого прямоугольника составляют $6\times 8$ клеток.
2. Вычислим площадь описанного прямоугольника:

$$S_{\text{прям}}=6\cdot 8=48{\text{ м}}^2.$$

3. Вне нашей фигуры, но внутри прямоугольника, лежат четыре равных прямоугольных треугольника по углам. Катеты каждого из этих треугольников равны $3$ м и $4$ м. Найдём площадь одного такого треугольника:

$$S_{\text{тр}}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 4=6{\text{ м}}^2.$$

4. Площадь искомого участка равна разности площади прямоугольника и площадей четырёх угловых треугольников:

$$S=S_{\text{прям}}-4\cdot S_{\text{тр}}=48-4\cdot 6=24{\text{ м}}^2.$$

Ответ: 24.