Задача №08680

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 20, 12 и 11. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Пусть прямолинейные разрезы делят исходный прямоугольник на части. Обозначим ширину левой части через $x_1\text{,}$ а правой части — через $x_2\text{.}$ Обозначим высоту верхней части через $y_1\text{,}$ а нижней части — через $y_2\text{.}$

Тогда образуются четыре меньших прямоугольника со следующими периметрами:

• Левый верхний прямоугольник: $P_1=2(x_1+y_1)=20\text{;}$
• Правый верхний прямоугольник: $P_2=2(x_2+y_1)=12\text{;}$
• Правый нижний прямоугольник: $P_3=2(x_2+y_2)=11\text{;}$
• Левый нижний прямоугольник: $P_4=2(x_1+y_2)\text{.}$

Заметим, что сумма периметров противоположных по диагонали прямоугольников равна:

Следовательно, выполняется равенство:

Подставим известные значения периметров:

Таким образом, периметр четвёртого прямоугольника равен 19.

Ответ: 19