Задача №08673

На плане изображён треугольник. Найдём его площадь, используя клетки.

Введём координаты в клетках (начало — в левом верхнем углу сетки, ось (x) — вправо, ось (y) — вниз). Вершины треугольника:

• (A(1;,1)) — верхняя вершина;
• (B(2;,9)) — левая нижняя вершина;
• (C(5;,9)) — правая нижняя вершина.

Способ 1: через основание и высоту

В качестве основания возьмём нижнюю горизонтальную сторону (BC). Её длина равна
[
a = 5 - 2 = 3 \text{ (клетки)} = 3 \text{ м.}
]

Высота, проведённая к этому основанию, — это расстояние по вертикали от верхней вершины (A) (находится на уровне (y=1)) до прямой, содержащей основание (находится на уровне (y=9)):
[
h = 9 - 1 = 8 \text{ (клеток)} = 8 \text{ м.}
]

Тогда площадь треугольника:
[
S = \dfrac{1}{2},a,h = \dfrac{1}{2}\cdot 3 \cdot 8 = 12 \text{ (м}^2\text{).}
]

Способ 2: формула площади по координатам (формула Гаусса)

[
S = \dfrac{1}{2}\big| x_A(y_B - y_C) + x_B(y_C - y_A) + x_C(y_A - y_B) \big|
]
[
S = \dfrac{1}{2}\big| 1\cdot(9-9) + 2\cdot(9-1) + 5\cdot(1-9) \big| = \dfrac{1}{2}\big| 0 + 16 - 40 \big| = \dfrac{1}{2}\cdot 24 = 12 \text{ (м}^2\text{).}
]

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: 12.