Задача №08650 — Задачи на квадратной решетке (Математика (база) ЕГЭ)

Прямоугольник разбит на четыре меньших прямоугольника двумя прямолинейными разрезами. Периметры трёх из них, начиная с левого верхнего и далее по часовой стрелке, равны 3, 7 и 8. Найдите периметр четвёртого прямоугольника.

Обозначим размеры сторон малых прямоугольников следующим образом: - Пусть x — высота верхних прямоугольников, а y — высота нижних прямоугольников; - Пусть a — ширина левых прямоугольников, а b — ширина правых прямоугольников. Тогда периметры прямоугольников выражаются формулами: - Левый верхний: P_(1) = 2(a + x) = 3 ; - Правый верхний: P_(2) = 2(b + x) = 7 ; - Правый нижний: P_(3) = 2(b + y) = 8 ; - Левый нижний: P_(4) = 2(a + y) — искомый периметр. Сложим периметры противоположных по диагонали прямоугольников: P_(1) + P_(3) = 2(a + x) + 2(b + y) = 2(a + b + x + y) P_(2) + P_(4) = 2(b + x) + 2(a + y) = 2(a + b + x + y) Отсюда следует равенство: P_(1) + P_(3) = P_(2) + P_(4) Подставим известные значения в полученное соотношение: 3 + 8 = 7 + P_(4) 11 = 7 + P_(4) => P_(4) = 4 Таким образом, периметр четвертого прямоугольника равен 4.

4