Задача №08636

Решение

Введём систему координат с началом в левом нижнем узле сетки, ось (Ox) — вправо, ось (Oy) — вверх. Шаг сетки равен (1) м.

Участок — это треугольник, вершины которого лежат в узлах сетки:

• (A(1;,1)) — нижняя левая вершина;
• (B(1;,7)) — верхняя левая вершина;
• (C(9;,8)) — верхняя правая вершина.

Площадь треугольника удобно найти по формуле

[
S = \dfrac{1}{2},a,h,
]

где (a) — основание, а (h) — высота, проведённая к этому основанию.

1. Основание. В качестве основания возьмём левую вертикальную сторону (AB), лежащую на линии сетки (x=1). Её длина равна разности ординат концов:

[
a = AB = 7 - 1 = 6 \text{ (м)}.
]

(Это та самая поправка учителя: длина основания равна (6) клеткам, а не (5).)

2. Высота. Высота, опущенная на прямую (x=1) из противоположной вершины (C(9;,8)), — это горизонтальное расстояние от этой прямой до точки (C):

[
h = 9 - 1 = 8 \text{ (м)}.
]

3. Площадь.

[
S = \dfrac{1}{2}\cdot 6 \cdot 8 = 24 \text{ (м}^2\text{)}.
]

Проверка по формуле площади Гаусса (шнуровки):

[
S = \dfrac{1}{2}\bigl|,x_A(y_B-y_C)+x_B(y_C-y_A)+x_C(y_A-y_B),\bigr|
]
[
= \dfrac{1}{2}\bigl|,1\cdot(7-8)+1\cdot(8-1)+9\cdot(1-7),\bigr|
= \dfrac{1}{2}\bigl|-1+7-54\bigr| = \dfrac{1}{2}\cdot 48 = 24.
]

Оба способа дают один и тот же результат.

Ответ: 24.