В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях. **1)** Каждый ученик этого класса посещает оба кружка. **2)** Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. **3)** Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике. **4)** Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка. В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Дано: всего 20 человек, 13 посещают кружок по истории (И), 10 — кружок по математике (М). Используем формулу включений-исключений: |И U М| = |И| + |М| - |И n М| . Так как |И U М| 20 , то 13 + 10 - |И n М| 20=> 23 - |И n М| 20=> |И n М| 3 . Также |И n М| (13,10)=10 . Анализ утверждений: 1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка. Это означало бы, что |И n М| = 20 , но тогда |И| 20 , а у нас 13. Неверно. 2) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка. Мы вычислили, что |И n М| 3 , значит, хотя бы трое посещают оба кружка. Следовательно, хотя бы двое — тем более. Верно. 3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике. Это означало бы, что все историки — математики, т.е. И ceq М , тогда |И n М| = 13 . Но это возможно? Проверим: если 13 человек посещают оба кружка, то математиков должно быть не меньше 13, а у нас 10. Не может быть. Значит, неверно. 4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка. Максимально возможное число посещающих оба кружка — (13,10)=10 . Значит, 11 человек не могут посещать оба кружка. Верно. Верные утверждения: 2 и 4.

\(24\)