Задача №08572

В классе учится 20 человек, из них 13 человек посещают кружок по истории, а 10 — кружок по математике. Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.

2) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.

3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.

4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Дано: всего 20 человек, 13 посещают кружок по истории (И), 10 — кружок по математике (М). Используем формулу включений-исключений: $|И\cup М|=|И|+|М|-|И\cap М|\text{.}$ Так как $|И\cup М|⩽20\text{,}$ то $13+10-|И\cap М|⩽20\Rightarrow 23-|И\cap М|⩽20\Rightarrow |И\cap М|⩾3\text{.}$ Также $|И\cap М|⩽\min (13,10)=10\text{.}$

Анализ утверждений:

1) Каждый ученик этого класса посещает оба кружка.

Это означало бы, что $|И\cap М|=20\text{,}$ но тогда $|И|⩾20\text{,}$ а у нас 13. Неверно.

2) Найдутся хотя бы двое из этого класса, кто посещает оба кружка.

Мы вычислили, что $|И\cap М|⩾3\text{,}$ значит, хотя бы трое посещают оба кружка. Следовательно, хотя бы двое — тем более. Верно.

3) Если ученик из этого класса ходит на кружок по истории, то он обязательно ходит на кружок по математике.

Это означало бы, что все историки — математики, т.е. $И\subseteq М\text{,}$ тогда $|И\cap М|=13\text{.}$ Но это возможно? Проверим: если 13 человек посещают оба кружка, то математиков должно быть не меньше 13, а у нас 10. Не может быть. Значит, неверно.

4) Не найдётся 11 человек из этого класса, которые посещают оба кружка.

Максимально возможное число посещающих оба кружка — $\min (13,10)=10\text{.}$ Значит, 11 человек не могут посещать оба кружка. Верно.

Верные утверждения: 2 и 4.