Задача №08506

На рисунке изображён график функции $y=f(x)$ и отмечены точки $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D$ на оси $Ox\text{.}$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке характеристики функции и её производной.

ТОЧКИ:
А) $A$
Б) $B$
В) $C$
Г) $D$

ХАРАКТЕРИСТИКИ:
1) значение функции в точке положительно, и значение производной функции в точке положительно
2) значение функции в точке отрицательно, и значение производной функции в точке отрицательно
3) значение функции в точке положительно, а значение производной функции в точке отрицательно
4) значение функции в точке отрицательно, а значение производной функции в точке положительно

В ответе запишите цифры, расположив их в порядке, соответствующем буквам: АБВГ.

Для решения задачи воспользуемся геометрическим смыслом функции и её производной:
1. Значение функции в точке положительно ($f(x)>0$), если соответствующая точка на графике лежит выше оси $Ox\text{,}$ и отрицательно ($f(x)<0$), если ниже оси $Ox\text{.}$
2. Значение производной функции в точке положительно ($f^{\prime }(x)>0$), если функция в этой точке возрастает (график идёт снизу вверх слева направо), и отрицательно ($f^{\prime }(x)<0$), если функция убывает (график идёт сверху вниз слева направо).

Проанализируем каждую точку:

• Точка $A$: точка на графике лежит выше оси $Ox$ ($f(A)>0$), и функция в ней убывает ($f^{\prime }(A)<0$). Это соответствует характеристике 3.
• Точка $B$: точка на графике лежит ниже оси $Ox$ ($f(B)<0$), и функция в ней убывает ($f^{\prime }(B)<0$). Это соответствует характеристике 2.
• Точка $C$: точка на графике лежит выше оси $Ox$ ($f(C)>0$), и функция в ней возрастает ($f^{\prime }(C)>0$). Это соответствует характеристике 1.
• Точка $D$: точка на графике лежит ниже оси $Ox$ ($f(D)<0$), и функция в ней возрастает ($f^{\prime }(D)>0$). Это соответствует характеристике 4.

Запишем полученное соответствие в таблицу:

Ответ: 3214