Задача №08484

Некоторые учащиеся 11-х классов школы осенью ездили на экскурсию в Нижний Новгород. Весной некоторые одиннадцатиклассники этой школы поедут в Казань, причём среди них не будет тех, кто ездил осенью в Нижний Новгород. Выберите все утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, кто из одиннадцатиклассников поедет в Казань.

1) Нет ни одного одиннадцатиклассника, который ездил на экскурсию в Нижний Новгород и поедет в Казань.
2) Каждый одиннадцатиклассник, который не был на экскурсии в Нижнем Новгороде, поедет в Казань.
3) Найдётся одиннадцатиклассник, который не ездил на экскурсию в Нижний Новгород и не поедет в Казань.
4) Среди учащихся 11-х классов этой школы, которые не поедут в Казань, есть хотя бы один, который ездил на экскурсию в Нижний Новгород.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пусть $N$ — множество одиннадцатиклассников, которые ездили в Нижний Новгород, $K$ — множество тех, кто поедет в Казань. Из условия:

• $N\ne \varnothing$ (некоторые ездили в НН),
• $K\ne \varnothing$ (некоторые поедут в Казань),
• $N\cap K=\varnothing$ (среди едущих в Казань нет тех, кто был в НН).

Анализ утверждений:
1. Утверждение: "Нет ни одного одиннадцатиклассника, который ездил в НН и поедет в Казань." Это прямо следует из $N\cap K=\varnothing \text{.}$ Верно.
2. Утверждение: "Каждый одиннадцатиклассник, который не был в НН, поедет в Казань." Это означает: если ученик $\notin N\text{,}$ то $\in K\text{.}$ Условие не требует этого; могут существовать ученики, не в $N$ и не в $K\text{.}$ Например, если есть ученик, который не ездил в НН и не поедет в Казань, условие не нарушается. Поэтому утверждение не обязательно верно.
3. Утверждение: "Найдётся одиннадцатиклассник, который не ездил в НН и не поедет в Казань." Это требует существования ученика вне $N$ и вне $K\text{.}$ Условие не гарантирует этого. Возможна ситуация, когда все ученики либо в $N\text{,}$ либо в $K$ (например, если $N$ и $K$ вместе покрывают всех одиннадцатикласснико

в). Тогда такого ученика нет. Поэтому утверждение не обязательно верно.
4. Утверждение: "Среди учащихся, которые не поедут в Казань, есть хотя бы один, который ездил в НН." Поскольку $N\ne \varnothing$ и $N\cap K=\varnothing \text{,}$ все ученики из $N$ не попадут в $K\text{,}$ то есть они среди не едущих в Казань. Следовательно, в множестве не-$K$ есть хотя бы один ученик из $N\text{.}$ Верно.

Ответ: 1 и 4