Задача №08483

В компании из 30 человек 25 пользуются социальной сетью «Одноклассники», а 10 — социальной сетью «ВКонтакте». Выберите все утверждения, которые верны при указанных условиях.

1. В этой компании найдётся 10 человек, которые не пользуются ни сетью «Одноклассники», ни сетью «ВКонтакте».

2. В этой компании найдётся хотя бы 5 человек, пользующихся обеими сетями.

3. Не найдётся ни одного человека в этой компании, пользующегося только сетью «Одноклассники».

4. Не более 10 человек в этой компании пользуются обеими сетями.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Всего 30 человек. Пусть $O=25$ — число человек, пользующихся сетью «Одноклассники», $V=10$ — сетью «ВКонтакте», и пусть $x$ — число человек, пользующихся обеими сетями.

Используем формулу включений-исключений:

$$O+V-x⩽30$$

Подставим значения:

$$25+10-x⩽30\Rightarrow 35-x⩽30\Rightarrow x⩾5.$$

Значит, хотя бы 5 человек пользуются обеими сетями.

Также $x⩽\min (25,10)=10\text{.}$

Анализ утверждений:

1. Найдётся 10 человек, которые не пользуются ни одной сетью.

Максимум не пользующихся: $30-(25+10-5)=30-30=0$ (при $x=5$). Может быть 0. Утверждение не обязательно верно.

2. Найдётся хотя бы 5 человек, пользующихся обеими сетями.

Да, мы доказали $x⩾5\text{.}$ Верно.

3. Не найдётся ни одного человека, пользующегося только сетью «Одноклассники».

Неверно. Например, если $x=5\text{,}$ то только «Одноклассниками» пользуются $25-5=20$ человек.

4. Не более 10 человек пользуются обеими сетями.

Да, $x⩽10\text{.}$ Верно.

Ответ: 24