Задача №08466

На рисунке изображены график функции и касательные, проведённые к нему в точках с абсциссами $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$

В правом столбце указаны значения производной функции в точках $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{.}$ Пользуясь графиком, поставьте в соответствие каждой точке значение производной функции в ней.

Точки:
а) $A$
б) $B$
в) $C$
г) $D$

Значения производной:
1) $-0,7$
2) $1,4$
3) $-1,8$
4) $0,5$

Геометрический смысл производной состоит в том, что значение производной функции в точке касания равно угловому коэффициенту касательной (тангенсу угла наклона касательной к положительному направлению оси $Ox$):

$$f^{\prime }(x_0)=k=\mathrm{tg}\alpha .$$

1. Если касательная возрастает (наклонена вправо-вверх, угол $\alpha$ острый), то производная в этой точке положительна ($f^{\prime }(x)>0$). Чем круче наклон, тем больше значение производной.
2. Если касательная убывает (наклонена вправо-вниз, угол $\alpha$ тупой), то производная в этой точке отрицательна ($f^{\prime }(x)<0$). Чем круче наклон вниз, тем меньше значение производной (больше по модулю).

Разделим заданные значения производной на две группы:

• Положительные: $1,4$ и $0,5\text{;}$
• Отрицательные: $-1,8$ и $-0,7\text{.}$

Рассмотрим поведение касательных в точках с абсциссами $A\text{,}$ $B\text{,}$ $C$ и $D\text{:}$

• Точка $A\text{:}$ касательная идет вниз (убывает), наклон крутой. Значение производной отрицательное и наибольшее по модулю: $-1,8$ (вариант 3).
• Точка $B\text{:}$ касательная идет вверх (возрастает), наклон крутой. Значение производной положительное и наибольшее: $1,4$ (вариант 2).
• Точка $C\text{:}$ касательная идет вверх (возрастает), наклон пологий. Значение производной положительное и меньшее по величине: $0,5$ (вариант 4).
• Точка $D\text{:}$ касательная идет вниз (убывает), наклон пологий. Значение производной отрицательное и меньшее по модулю: $-0,7$ (вариант 1).

Сопоставив точки и значения производной, получаем соответствие:

• $A$ — 3
• $B$ — 2
• $C$ — 4
• $D$ — 1

Таким образом, получаем последовательность цифр: 3241.

Ответ: 3241