Задача №08452

Некоторые учащиеся 10-х классов школы осенью ездили на экскурсию в Ярославль. Зимой некоторые десятиклассники этой школы поедут во Владимир, причём среди них не будет тех, кто ездил осенью в Ярославль. Выберите все утверждения, которые будут верны при указанных условиях независимо от того, кто из десятиклассников поедет во Владимир.

1) Каждый десятиклассник, который не ездил на экскурсию в Ярославль, поедет во Владимир.

2) Среди учащихся 10-х классов этой школы, которые не поедут во Владимир, есть хотя бы один, который ездил на экскурсию в Ярославль.

3) Нет ни одного десятиклассника, который ездил на экскурсию в Ярославль и поедет во Владимир.

4) Найдётся десятиклассник, который не ездил на экскурсию в Ярославль и не поедет во Владимир.

В ответе запишите номера выбранных утверждений без пробелов, запятых и других дополнительных символов.

Пусть $U$ — множество всех десятиклассников школы.
Пусть $A$ — множество десятиклассников, которые ездили осенью в Ярославль.
Пусть $B$ — множество десятиклассников, которые поедут зимой во Владимир.

Из условия:

1. $A\ne \varnothing$ (некоторые ездили в Ярославль).
2. $B\ne \varnothing$ (некоторые поедут во Владимир).
3. $B\cap A=\varnothing$ (среди едущих во Владимир не будет тех, кто ездил в Ярославль).

Отметим, что из $B\subseteq U\setminus A$ и $B\ne \varnothing$ следует, что $U\setminus A\ne \varnothing \text{,}$ т.е. существует хотя бы один десятиклассник, который не ездил в Ярославль.

Рассмотрим каждое утверждение:

1. «Каждый десятиклассник, который не ездил на экскурсию в Ярославль, поедет во Владимир».
Это означает, что $U\setminus A\subseteq B\text{.}$ Из условия следует только $B\subseteq U\setminus A\text{,}$ но обратное включение не обязательно. Например, можно выбрать $B$ как собственное подмножество $U\setminus A\text{.}$ Следовательно, утверждение неверно.

2. «Среди учащихся 10-х классов этой школы, которые не поедут во Владимир, есть хотя бы один, который ездил на экскурсию в Ярославль».
Так как $A\ne \varnothing$ и $A\cap B=\varnothing \text{,}$ то все элементы $A$ не принадлежат $B\text{,}$ т.е. $A\subseteq U\setminus B\text{.}$ Поэтому в $U\setminus B$ найдётся элемент из $A$ (например, любой элемент $A$). Утверждение верно.

3. «Нет ни одного десятиклассника, который ездил на экскурсию в Ярославль и поедет во Владимир».
Это прямо следует из условия $B\cap A=\varnothing \text{.}$ Утверждение верно.

4. «Найдётся десятиклассник, который не ездил на экскурсию в Ярославль и не поедет во Владимир».
Это означает, что $(U\setminus A)\setminus B\ne \varnothing \text{,}$ т.е. существует элемент, который не в $A$ и не в $B\text{.}$ Это не обязательно верно при всех возможных $B\text{.}$ Например, если $B=U\setminus A$ (т.е. все не ездившие в Ярославль поедут во Владимир), то $(U\setminus A)\setminus B=\varnothing \text{.}$ Такой выбор $B$ удовлетворяет условиям ($A\ne \varnothing \text{,}$ $B\ne \varnothing \text{,}$ $B\cap A=\varnothing$), поскольку если $A\ne \varnothing$ и $U\setminus A\ne \varnothing \text{,}$ то $B=U\setminus A$ непусто. Следовательно, утверждение может быть ложным и поэтому не является верным при любом выборе $B\text{,}$ удовлетворяющем условию.

Таким образом, верными являются только утверждения 2 и 3.

Ответ: 23